Question

Aratati ca nr:
a A= 2²+2la puterea4+2la puterea6+2la puterea 30 este divizibil cu 20
b. A =1+ 5^2+5^4+....+5^34 este divizibil cu 26
c A =7+7^2+7^3+....+7^100 este divizibil cu 50

Answer 1

a. A= 2²+2⁴+2⁶+..+2³⁰ este divizibil cu 20
adica divizibil cu 4 si divizibil cu 5
 A= 2²+2⁴+2⁶+...+2³⁰ =2²(1+2²+2⁴+...+2²⁸) deci divizibil cu 4
 A= 2²+2⁴+2⁶+...+2³⁰=2²(1+2²)+2⁶(1+2²)+....+2²⁸(1+2²)=
=(1+2²)(2²+2⁶+....+2²⁸)=
=5×(2²+2⁶+....+2²⁸) deci divizibil cu 5
daca divizibil cu 4 si divizibil cu 5 inseamna divizibil cu 4×5 adica cu 20

b. A =1+ 5²+5⁴+....+5³⁴ este divizibil cu 26 
A =(1+ 5²)+5⁴(1+5²)+....5³²(1+5²)=
=26+5⁴×26+...+5³²×26=
=26×(1+5⁴+...+5³²)  deci divizibil cu 26

c. A =7+7²+7³+....+7¹⁰⁰este divizibil cu 50
 A =7+7²+7³+....+7¹⁰⁰=
= 7(1+7+7²+7³)+....+7⁹⁷(1+7+7²+7³)=
= (1+7+49+343)(1+....+7⁹⁷)=
=400(1+....+7⁹⁷)=
=8×50×(1+....+7⁹⁷)divizibil cu 50