Question

Arătati ca numărul A(n)= n la a 4a+ 2n la a3a- n la a2a- 2n se divide cu 8 oricare ar fi numărul natural n.

Answer 1

Dai factor comun pe n:
A(n)=n(n^3+2*n^2-n-2) si grupezi convenabil in paranteze ca sa descompui in factori expresia:
A(n)=n[n^2(n+2)-(n+2)]=n(n+2)(n^2-1)
Folosim formula de descompunere n^2-1=(n-1)(n+1) si obtinem:
A(n)=(n-1)*n*(n+1)*(n+2) adica produsul a patru numere consecutive, care demonstram ca este divizibil cu 8 pentru orice n. Analizam pentru n=numar par, respectiv impar, adica pentr n=2*k, respectiv n=2*k+1:
Daca n=2*k:
A(n)=(2*k-1)*2*k*(2*k+1)*(2*k+2) unde, daca scoate pe 2 factor comun in ultima paranteza:
A(n)=(2*k-1)*2*k*(2*k+1)*2*(k+1) Aranjam convenabil factorii (folosind comutativitatea inmultirii:
A(n)=2*2*k*(k+1)*(2*k+1)*(2*k-1)=4*k*(k+1)*(2*k+1)*(2*k-1), unde avem k*(k+1), care este produsul a doua numere consecutive, care este par (pentru ca unul dintre cele doua numere va fi par), deci A(n) este multiplu de 4*2=8.

La fel, daca n=2*k+1:
A(n)=2*k*(2*k+1)*(2*k+2)*(2*k+3)
A(n)=2*2*k*(k+1)*(2*k+1)*(2*k+31)=4*k*(k+1)*(2*k+1)*(2*k+3), unde avem k*(k+1), care este produsul a doua numere consecutive, deci este par, deci A(n) este multiplu de 4*2=8.
(q.e.d.)