Question

Aratati ca numerele urmatoare nu pot fi patrare perfecte oricare ar fi n:
x=5n+3
x=5n+2
x=6 la puterea n +1
x=10n+8
x=10 la puterea n +3
x=6 la puterea n -3

Answer 1

un patrat perfect se termina in una din cifrele: 0,1,4,5,6,9

ultima cifra pentru 5n+3
U(5n+3)=U(5n) + 3 =5+3=8 nu e pp

ultima cifra pentru 5n+2
U(5n)+2=7 nu e pp

6^(n+1) = 2^(n+1) x 3^(n+1), conditia ca 6^(n+1) este ca divizorii primi sa fie la puteri pare, n+1=2k, deci 6^(n+1) nu e pp pentru n par

ultima cifra
U(10n+8)=U(10n)+8=0+8, nu e pp

10^(n+3)=2^(2+3) x 5^(n+3) deci puterile lui 2 si 5 trebuie sa fie pare
in concluzie 10^(n+3) nu e pp pentru n par.

6^(n-3)=2^(n-3) x 3^(n-3), desi ultima cifra a lui 6^(n-3) este 6 totusi nu e suficient si mai trebuie ca exponentii lui 2 si 3 sa fie numere pare.
deci 6^(n-3) nu e pp pentru n par, n≥3

obs. faptul ca ultima cifra a unui numar este 0,1,4,5,6,9 nu inseamna ca e musai pp, aceasta fiind doar o conditie necesara dar nu suficienta.