Question

Arătați că oricare ar fi n € N,numărul a=n³-n se divide atât cu 2 cât și cu 3.

Dau coroana!ツ​

Answer 1

$\it a=n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)\cdot n\cdot(n+1)\\ \\ Num\breve{a}rul\ a\ se\ scrie\ ca\ produs\ de\ trei\ numere\ naturale\ consecutive.$

Oricare ar fi două numere naturale consecutive, unul dintre ele

este număr par.

2 | n·(n+1) ⇒ 2 | (n-1)·n·(n+1)      (1)

Oricare ar fi trei numere naturale consecutive, unul dintre ele

este multiplu de trei (de forma 3k, unde k = natural).

3 | (n-1)·n·(n+1)      (2)

(1), (2) ⇒ 6 | (n-1)·n·(n+1)

Answer 2

Salut!

(a-b)(a+b)=a²-b²

a=n³-n

a=n(n²-1²)

a=n(n-1)(n+1)

a=(n-1)n(n+1)

Observam ca este o inmultire a trei numere consecutive, deci asta inseamna ca se divide cu 6.

6 | 2

3 | 3

1

D₆={1,2,3,6}

Fiindca 2 si 3 sunt divizori ai lui 6, asta ca a=n³-n se divide si cu 2 si 3 oricare are fi a∈N

Succes!