Question

Aratati ca rezultatul calculului 11+11•2+11•3+...11•99 este numar divizibil cu 10.

Answer 1

11*(1+2+3.....+99)=11*[(99*(99+1):2]=11*[(99*100):2]=11*(9900:2)=11*4950=54450 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 54450:10=54450⇒10|54450(este divizibil)

Answer 2

11=10+1
11+11*2+11*3+......+11*99=(10+1)+(10+1)*2+(10+1)*3+....+(10+1)*99
Se stie ca (x+y)*z=x*z+y*z
10*1+1*1+10*2+1*2+10*3+1*3+.......+10*99+1*99
Aranjam convenabili termenii
10*1+10*2+10*3+.......+10*99+1*1+1*2+1*3+......+1*99
Se stie ca x*y+x*z+x*a+....+x*b=x*(y+z+a+......+b)
10*(1+2+3+......+99)+1*(1+2+3+.......+99)
Prima paranteza e divizibila cu 10 deoarece e de forma 10*N deci daca demonstram ca si a doua suma e divizibila cu 10 inseamna ca toata suma e divizibila cu 10 deoarece 10*N+10*X=10*(N+X)
1*(1+2+3+....+99)=1+2+3+......+99
Se aplica formula 1+2+3+.....+n(n+1):2(n este ultimul termen al sirului)
in cazul nostru n=99
99*(99+1):2=99*100:2(100 se simplifica cu 2)=99*50
50=5*10
99*50=99*5*10
deci suma este un numar divizibil cu 10