Question

Aratati ca: $\frac{3}{2*5} + \frac{3}{5*8} + \frac{3}{8*11} +....+. \frac{3}{2012*2015}= \frac{2013}{4030}$

Answer 1

Observam ca diferenta dintre numerele de la numitori este de 3:
5-2=3  8-5=3 ...... 2015-2012=3
(5-2)/(2*5) + (8-5)/(5*8) + (11-8)/(8*11) +...+  (2015-2012)/(2012*2015) = 5/(2*5)-2/(2*5)+8/(5*8)-5/(5*8)+11/(8*11)-8/(8*11)+..+2015/(2012*2015)-2012/(2012*2015)
Observam ca in fiecare fractie se reduce numaratorul cu un factor al produsului de la numarator(5 cu 5, 2 cu 2,..., 2012 cu 2012) si ne ramane:
1/2-1/5+1/5-1/8+1/8-1/11+...+1/2012-1/2015
Observam ca se reduc termenii opusi: -1/5 cu +1/5; -1/8 cu +1/8, ... , -1/2012 cu +1/2012 si ne ramane:
1/2-1/2015
Aducem la acelasi numitor si avem:
2015/2*2015-2/2*2015=2015/4030-2/4030=2013/4030