Question

bis ungh abc inters dreapta ce uneste mij lat AB si AC ale triungh ABC in pnctl E.Dreptele AE si BE suntperpendiculare? plz ajutor dau coroana si 20 pnct

Answer 1

sa zicem ca segmentul care uneste mijloacele laturilor AB si AC este MN.
in acest caz, MN este linie mijlocie a triunghiului ABC, atunci MN este paralela cu BC.
Rezulta ca BE este o secanta care uneste cele doua drepte paralele. DIn regula de egalitate a unghiurilor alterne interne rezulta ca:
$\angle{MEB}=\angle{BEC}$
Dar stim ca BE este bisectoarea unghiului ABC. Atunci
$\angle{ABE}=\angle{BEC}=\frac{\angle{ABC}}{2}$
Din cele 2 relatii rezulta ca
$\angle{MEB}=\angle{ABE}=\angle{MBE}$
Daca ne uitam in triunghiul MBE vedem ca are 2 unghiuri congruente, deci este isoscel. Fiind isoscel, rezulta ca si cele 2 laturi sunt congruente: ME=BM
M este mijlocul lui AB, atunci $BM=AM=\frac{AB}{2}$ adica rezulta si ca ME=AM, de unde rezulta ca AME este triunghi isoscel cu unghiurile congruente:
$\angle{MAE}=\angle{MEA}$
unghiul AME este exterior triunghiului BME, atunci putem scrie
$\angle{AME}=\angle{MBE}+\angle{MEB}=2\angle{MBE}=\angle{ABC}$
Atunci putem calcula si unghiul MEA
$\angle{AME}+2\angle{MEA}=180\Rightarrow \angle{ABC}+2\angle{MEA}=180\Rightarrow \angle{MEA}=\frac{180-\angle{ABC}}{2}=90-\frac{\angle{ABC}}{2}$
Atunci putem calcula unghiul dintre ele
$\angle{BEA}=\angle{MEB}+\angle{MEA}=\frac{\angle{ABC}}{2}+90-\frac{\angle{ABC}}{2}=90$ deci AE si BE sunt perpendiculare