Question

Calculati:
$\frac{4}{1*5}+ \frac{4}{5*9} + \frac{4}{9*13} +...+ \frac{4}{2004*2008}.$

Answer 1

daca numitorul este produs de 2 termeni, iar numaratorul este diferenta termenilor din produs, atunci o fractie se poate scrie dupa modelul:

1/1*2=1/1-1/2
(cu numaratorul mereu 0 dupa ce e scrisa ca diferenta)

dupa acest model 4/1*5=1/1-1/5

aplic aceasta la fiecare termen din suma si rezulta

suma= 1/1-1/5 + 1/5 -1/9+ 1/9- 1/13 +.......+ 1/2004-1/2008

se simplifica multi termeni si raman doar primul si ultimul
(daca nu vezi dc iti sugerez sa scri mai multi termeni din suma desfacuti dupa model)

si rezulta
suma=1- 1/2008

aduc la acelasi numitor si rezulta
suma=2007/2008

Answer 2

 1 / n · ( n + 4)   = 1 / 4  · [ 1 /n -  1 /  ( n +1) 
4 / 1· 5 = 4  · 1 /4 [  1 /1   - 1 /5 ] = 4/4 · [ 1 /1 - 1 / 5 ] = 1  -  1 / 5 
4 /  5·9  = 4 / 4 · [ 1 / 5    -1 / 9 ] =   1 / 5  -  1 /  9 
4 / 9 · 13 = 4 / 4 · [ 1 / 9  -  1 /13 ]  = 1 / 9  -  1 /13 
........................................
4  / 2004·2008 = 4 / 4 · [ 1 / 2004  - 1 /2008 ]  =  1 /2004  - 1 / 2008 
se simplifica  , avem primul si ultimul 
suma = 1   - 1 /2008 = [ 2008  - 1 ] / 2008   = 2007 / 2008