Question

Calculează: a) ( 3la puterea 1 + 2 +3+....+100+2×3 la puterea 5050)÷3la puterea 5051;
b) ( 5 la puterea 2+4+6+.....+200+4×5la puterea 10100)÷5 la puterea 10100;

Answer 1

a)

(3^1+2+3+...+100+2*3^5050):3^5051

Facem suma lui Gauss pentru puterea lui 3:

Formula:n(n+1)/2

1+2+3+...+100=100(100+1)/2=5050

3^5050+2*3^5050=3*3^5050=3^5051(deoarece 3*3^2=3^3, propietate a puterilor)

Apoi vine: 3^5051:3^5051=1

b)

(5^2+4+6+...+200+ 4*5^10100):5^10100

Din nou suma lui Gauss numai ca dam factor comun pe 2

2(1+2+3+...+100)=2[100(100+1)/2] simplificam 2 si ramane: 100(100+1) care este 10100 deci:

5^10100+4*5^10100=5*5^10100(il lasam asa ca sa putem simplifica)

5*5^10100:5^10100=5