Calculează suma: ∑ (k-1)² × k! (pentru k de la 1 la n).
GreenEyes71:
k! se referă la factoriale. Se studiază așa ceva la gimnaziu (clasele V-VIII) ?
Nu este din tema de clasă (sunt cls VIII), ci am studiat eu în plus întrucât mă pregătesc pentru olimpiadă şi nu numai... Am făcut mai multe exerciţii cu factoriale însă acesta chiar nu îmi iese.
Deci stii factorialul, da?
poti sa scrii k! ca 1*2*3*..*(k-1)*k
Cu ce îl/o ajută pe Player314 să scrie pe k! ca 1*2*3*..*(k-1)*k ? Îți răspund tot eu: cu nimic !
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
6
∑(k-1)²·k!=∑[(k+1)²-4k]·k!=∑(k+1)²k!-4∑k·k!=
=∑(k+1)(k+1)!-4∑k·k!=
=∑(k+2-1)(k+1)!-4∑(k+1-1)k!=
=∑[(k+2)!-(k+1)!]-4∑[(k+1)!-k!]=
=[(n+2)!-2!]-4[(n+1)!-1!]=
=(n+2)!-2-4(n+1)!+4=
=(n+1)!(n+2-4)+2=
=(n+1)!(n-2)+2
Acum sa demonstram rezultatul gasit prin inductie:
P(n):∑(k-1)²·k!=(n+1)!(n-2)+2
P(2):2!=3!·0+2 (A)
Presupunem ca P(n) adevarata si demonstram ca si P(n+1) adevarata.
P(n+1): ∑(k-1)²·k!(cu n de la 1 la n+1)=(n+2)!(n-1)+2
∑(k-1)²·k!(cu n de la 1 la n+1)=∑(k-1)²·k!(cu n de la 1 la n)+n²(n+1)!=
=(n+1)!(n-2)+2+n²(n+1)!=
=(n+1)!(n-2+n²)+2=
=(n+1)!(n+2)(n-1)+2=
=(n+2)!(n-1)+2
=∑(k+1)(k+1)!-4∑k·k!=
=∑(k+2-1)(k+1)!-4∑(k+1-1)k!=
=∑[(k+2)!-(k+1)!]-4∑[(k+1)!-k!]=
=[(n+2)!-2!]-4[(n+1)!-1!]=
=(n+2)!-2-4(n+1)!+4=
=(n+1)!(n+2-4)+2=
=(n+1)!(n-2)+2
Acum sa demonstram rezultatul gasit prin inductie:
P(n):∑(k-1)²·k!=(n+1)!(n-2)+2
P(2):2!=3!·0+2 (A)
Presupunem ca P(n) adevarata si demonstram ca si P(n+1) adevarata.
P(n+1): ∑(k-1)²·k!(cu n de la 1 la n+1)=(n+2)!(n-1)+2
∑(k-1)²·k!(cu n de la 1 la n+1)=∑(k-1)²·k!(cu n de la 1 la n)+n²(n+1)!=
=(n+1)!(n-2)+2+n²(n+1)!=
=(n+1)!(n-2+n²)+2=
=(n+1)!(n+2)(n-1)+2=
=(n+2)!(n-1)+2
De ce, cind treci de la k la n, scrii (k+1)! ca 2!, insa pe (k+2)! il scrii (n+2)! ?
∑[(k+2)!-(k+1)!]=3!-2!+4!-3!+5!-4!+...+(n+2)!-(n+1)!=-2!+(n+2)!=(n+2)!-2!
Ohh, multumesc! Good job!
Alte întrebări interesante
Engleza,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba rusă,
9 ani în urmă