Question

Cel mai mic multiplu comun al numerelor x şi y este de 15 ori mai mare decât cel mai mare divizor comun al acestora.
Aflați numerele ştiind că 3x+5y = 272.
​

Answer 1

Răspuns:

x = 24, y = 40

Explicație pas cu pas:

$3x + 5y = 272$

$[x,y] = 15 \cdot (x,y)$

știm că:

$(x,y) \cdot [x,y] = x \cdot y$

$(x,y) \cdot 15 \cdot (x,y) = x \cdot y$

$15 \cdot {((x,y))}^{2} = x \cdot y$

notăm:

$(x,y) = d$

atunci:

$x = m \cdot d \ \ si \ \ y = n \cdot d, unde \ \ (m,n) = 1$

ecuația devine:

$15 \cdot {d}^{2} = (m \cdot d) \cdot (n \cdot d) \\ \iff 15 \cdot {d}^{2} = m \cdot n \cdot {d}^{2} \\ \implies 15 = m \cdot n$

• m = 1, n = 15 => x = d, y = 15d

3d + 5×15d = 272

3d + 75d = 272

78d = 272 => d ∉ N

• m = 3, n = 5 => x = 3d, y = 5d

3×3d + 5×5d = 272

9d + 25d = 272

34d ÷ 272 => d = 8

=>

x = 3×8 => x = 24

y = 5×8 => y = 40

• m = 5, n = 3 => x = 5d, y = 3d

3×5d + 5×3d = 272

15d + 15d = 272

30d = 272 => d ∉ N

• m = 15, n = 1 => x = 15d, y = d

3×15d + 5×d = 272

45d + 5d = 272

50d = 272 => d ∉ N