Question

Cine imi poate explica dc daca n este nr naturat si am ecuatia : (n-8)(n+10)<=0, de ce n=8,9,10. Cum se poate rezolva fara sa fac ec de gr 2 cu delta? Multumesc

Answer 1

Explicație pas cu pas:

(n-8)(n+10)<=0

nr negativ * nr negativ=nr pozitiv

nr pozitiv* nr pozitiv=nr pozitiv

nr negativ* nr pozitiv=nr negativ

DECI:

FIE AVEM n-8≤0 si n+10≥0

FIE n-8≥0 si n+10≤0;   dar aceasta varianta e imposibila deoarece n+10≥10 (deci nu e ≤0) oricare ar fi n numar natural

Luam primul caz

$\left \{ {{n-8\leq 0} \atop {n+10\geq 0}} \right => \left \{ {{n\leq8 } \atop {n\geq -10 }} \right. \left \{ {{n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}} \atop {n \in N}} \right.$

Acum facem intersectia si tinem cont de faptul ca n este nr natural.

$n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8\}$

Answer 2

$(n-8)(n+10) = n^2 + 2n - 80\\n^2 + 2n - 80 = 0\\\Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324\Rightarrow \sqrt{\Delta} = 18\\n_{1,2} = \frac{-2 \pm 18}{2} = -1 \pm 9 \Rightarrow n_1 = -10, n_2 = 8$

$\text{Deoarece }\:a = 1 > 0, \text{atunci parabola asociata ecuatiei are bratele in sus, asa ca partea cu} n^2 + 2n - 80 \leq 0 \text{este in intervalul [n_1, n_2], cu valori: [-10, 8].}\\ Acum, [-10, 8] \cap \mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}.}$

$Fara\: \Delta,\: trebuie\: sa\: aflam\: semnul\: ecuatiei (n-8)(n+10).\\Daca\:n < -10,\:avem \:(n-8)(n+10) \:pozitiv.\\Daca\:n = -10, \:avem\:(n-8)(n+10) = 0.\\Daca\: -10 < n < 8,\:avem\: (n-8)(n+10)\: negativ.\\Daca\:n = 8,\:avem\: (n-8)(n+10) = 0.\\Daca\: n > 8 \:avem \:(n-8)(n+10)\:pozitiv.$

Ne intereseaza cazurile pentru care (n-8)(n+10) este negativ sau egal cu 0, care se gasesc in intervalul [-10, 8].Daca $n \in \mathbb{N}$, atunci trebuie sa il intesectam si obtinem {0,1,2,3,4,5,6,7,8}