Question

Cine imi poate rezolva exercitiul? 
Determinjati numerele naturale n si m stiind ca n! + m! = 744 (daca n apartine numerelor naturale , atunci n! = 1 x 2 x ... x n )

Multumesc! 

Answer 1

Ne folosim de urmatorul principiu:
Suma a doi rermeni este divizibila cu divizorii comuni ai ccelor 2 termeni.
Exwmplificare:
(a * b * c * x)    +   (a * b * g * y) = a * b (c*x + g*y)  
a si b sunt divizori comuni iar suma este divizibila cu a si b

Sa trecem la rezolvare.

Consideram ca n < m
n = 1*2*3*.....*n
m = 1*2*3*.....*n * (n+1)*....*m          
Toate numerele naturale de la 1 pana la n sunt divizori ai lui n! dar si ai lui m!
=> Numerele de la 1 la n sun divizori ai sumei n! + m! = 744.
Verificam divizorii consecutivi (incepand cu 1) ai numarului 744.

744 se div cu 1  (se stie) 
744 se div cu 2  (ultima cifra e para)
744 se div cu 3 (suma cifrelor, 7+4+4 = 15, se divide cu 3)
744 se div cu 4  (nr. format din ultimele 2 cifre, 44, se divide cu 4) 
744 nu se divide cu 5 (ultima cifra = 4 ≠ 0 si 4 ≠ 5)

=> n! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24.
=> n = 4
n! + m! = 744
=> m! = 744 - n! = 744 - 24 = 720
=> m! = 720
Deoarece m! > n! => m! este divizibil cu n!
m! / n! = 720 / 24 = 30
30 este un produs de (m - n) numere consecutive care sunt consecutive lui n = 4.
=> 30 = 5 * 6
=> m! = 1*2*3*4*5*6 = 720
=> m = 6 

Proba:
n! + m! = 1*2*3*4 + 1*2*3*4*5*6 = 24 + 720 = 744