Question

Cine ma pote ajuta  cu aceste probleme:

  1.Sa se afle suma numerelor naturale cupuprinse intre 380 si 602,stiind ca impartite la 4 dau restul 1, iar impartite la 5 dau restul 1.

   2.Fie multimea A={x e(apartine)N/x se divide cu 2,x nu se divide cu 6 si x<2007}
     a)Sa se scrie opt elemente din multimea A
     b)Cate elemente are multimea A?
     c)Daca elementele multimii A le scriem in ordine descrescatoare, ce numar se afla pe pozitia 321?

Answer 1

1. Consideram a unul dintre numerele cautate astfel incat:
a=4·c1+1; a=5·c2+1
a=4·c1+1 ⇒ a-1=4·c1 ⇒ a-1∈M4 
a=5·c2+1 ⇒ a-1=5·c2 ⇒ a-1∈M5 
Din aceste doua relatii ⇒ a-1∈M[4,5]=M20
Multiplii lui 20 in intervalul dat sunt: 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500, 520, 540, 560, 580 si 600
Pentru 380: a-1=380, a=381... se procedeaza analog pt toate cazurile si vom afla ca numerele care respecta cerinta sunt a∈{381,401,421,441,461,481,501,521,541,561,581,601}

2. a) {2,4,8,10,14,16,20,22} sunt 8 elemente.
b) se observa ca A contine toate numerele pare mai mici sau egale cu 2006 cu exceptia celor multiple de 6. Efectuam teorema impartirii cu rest: 2007=334*6 + 3 deci multiplii lui 6 sunt in numar de 334. Avem 1003 nr pare mai mici decat 2007; din ele scadem nr de M6 rezultand ca A are 1003-334=669 elemente.
c) Observam ca ultimul element, 2006, este 669*3-1=3k-1; 2002 este 668*3-2=3k-2; 2000 este 667*3-1=3k-1... deci termenii pari au forma 3k-2; cei impari au forma 3k-1.
In acelasi timp al 321-lea element in ordine descrescatoare este al 349-lea in ordine crescatoare; deci numarul va avea forma 349*3-1 deoarece este al 349-lea(impar) si este egal cu 1046.