Question

Comparati nr (radical din 26 + radical din 6) si (radical din 13 + radical din 17)

Answer 1

Răspuns:

Notam $A=\sqrt{26}+\sqrt{6}, B=\sqrt{13}+\sqrt{17}$.

Atunci $A^2 = 26+2\sqrt{26}\sqrt{6}+6 = 32+4\sqrt{39}$

$B^2=13+2\sqrt{13}\sqrt{17}+17=30+2\sqrt{221}.$

Fie $C = (A^2-30)/2 = 1 + 2\sqrt{39}, D=(B^2-30)/2=\sqrt{221}$

Pentru a compara A si B este suficient sa comparam C si D.

Avem $C^2= 1 + 4\cdot 39 + 3\sqrt{39} = 157 + 3\sqrt{39}, D^2=221$

Observam ca $C^2 = 157 +3\sqrt{39}<157+2\sqrt{49}=156+14=170<221=D^2$

In concluzie, $C^2<D^2$, deci $C<D$, deci $A^2-30<B^2-30$, deci A<B.