Question

Cu 11 ani in urma varsta fiicei era o treime din cea a mamei,iar peste 2 ani varsta fiicei va fi jumatate din varsta mamei.cati ani are fiica? Cati ani are mama? Peste cati ani suma varstelor lor va fi divizibila cu 17?

Answer 1

Notam F si M varsta fiicei, respectiv a mamei, in prezent.
3(F-11)=M-11    (rel 1)
2(F+2)=M+2    (rel 2)

Efectuam calcule in cele doua relatii si obtinem:
3F=M+22
M=2F+2 pe care o inlocuim in prima relatie:
3F=2F+2+22
F=24 ani are fiica in prezent
M=2*22+2=48+2=50 ani are mama in prezent

Notam cu x numarul de ani dupa care suma varstelor lor va fi divizibila cu 17:
(F+x)+(M+x)=M17, unde x este cel mai mic posibil.
24+50+2x=72+2x=M17
Observam ca 74=numar par
2x=numar par, deci 74+2x este numar par, deci cautam un multiplu par de 17, mai mare decat 74, adica 102.
74+2x=102
2x=28
x=14
Deci peste 14 ani suma varstelor lor va fi divizibila cu 17.
Verificare:
Peste 14 ani, fiica va avea 24+14=38, iar mama va avea 50+14=64, iar
38+64=102=17*6
q.e.d.

Answer 2

fie x varsta mamei si y varsta fiicei. atunci avem 2 egalitati
x-11 = 3 (y-11) si
x+2 = 2 (y +2)
de aici x = 3y - 33 +11 deci x = 3y - 22
inlocuim in a doua ecuatie 3y - 22 +2 = 2y +4;  3y - 2y = 20 +4;   y = 24 ani are fiica
mama are x = 3*24 - 22 = 72 - 22 = 50 ani
multipli lui 17 sunt M17 = 17, 34, 51, 68, 85, 102, ......
85 - (50 + 24 ) = 11 ani,
sau 102 - (50 - 24) = 28 ani
având în vedere ca anii trec si pentru mama si fiica in acelasi timp atunci vor  trece in primul caz 11/2= 5, 5 ani adica 5 ani și 6 luni
in cazul doi 28/2=14 ani