Question

Cum arăt ca polinomul f=x^8+4x^4+3 este reductibil peste Z5, unde f aparţine Z5[X]? Nu e necesară rezolvarea, ci ideea de la care să pornesc.

Answer 1

Fie ; P(x)=x^8+4.x^4+3 , in Z5, unde ; Z5={0 , 1 , 2 , 3 , 4}
Pentru a vedea  ca P(x) este reductibil , rezolvam P(x)=0 si notam x^4=t, deci :t^2+4.t+3=0->t'=-3 si t"=-1. In acest caz , t^2+4.t+3=(t+1).(t+3) si revenind la prima notatie , vom avea ; x^8+4.x^4+3=(x^4+1).(x^4+3)=
P(x). Rezulta ca P(x) este reductibila. .
Pentru a determina radacinile ale ec P(x)=0 vom incerca fiecare element din Z5.Sa deducem pe x^4 pentru fiecare element din Z5.

elem/putere   l  1  l  2  l  3  l  4  l   P(x)
--------------------------------------
..0....................0.....0.....0....0.......3.
..1....................1.....1.....1....1.......3.
..2....................2.....4.....3....1.......3
..3....................3.....4.....2....1.......3
..4....................4.....1.....4....1.......3 
Cum x^4=1, indiferent de element , parantezele ; (x^4+1)=1+1=2 si (x^4+3)=1+3=4 si P(x)=2.4=3. Rzulta ca P(x)=0 nu are solutii



              

Answer 2

Uite o idee in imagine,cam asa as rezolva eu!