cum demonstrez ca exista un punct fix prin care trec toate parabolele pentru functia f(x)=mx^2+2(m-1)x+m+1
m€R*
Răspunsuri la întrebare
Salut,
Fie M(x₀,y₀) acel punct fix. Acel punct nu depinde de
parametrul m, coordonatele lui nu depind de m.
Din definiția familiei de parabole, avem clar că m ≠ 0.
Dacă ar fi așa, familia nu ar mai fi de parabole, ci ar fi de drepte, ceea ce
este o degenerare pe care nu are rost să o dezbatem.
Acel punct fix M aparține familiei de parabole, deci f(x₀) = y₀, sau:
mx₀² + 2(m -- 1)x₀ + m + 1 = y₀, sau m(x₀² +
2x₀ + 1) -- 2x₀ + 1 -- y₀ = 0
(1).
Pentru ca relația (1) să nu depindă de m, trebuie ca x₀² + 2x₀ + 1
= 0, adică (x₀ + 1)² = 0, deci x₀ = --1.
Pe y₀ îl aflăm din relația (1), pentru x₀ = --1:
m·0 -- 2·(--1) + 1 -- y₀ = 0, sau y₀ = 3, deci M(--1,3) este punctul fix căutat.
Dacă verifici asta în funcția din enunț, atunci obții că f(--1) = 3, tot ce este m se reduce.
Green eyes.