Question

Cum fac imaginea(multimea valorilor) functiei f(x)=ln(1+e^x)-x

Answer 1

f(x) = $ln ( 1+ e^{x})$ - x
f¹(x) = $\frac{1}{1+ e^{x}} -1 = \frac{1-1-e^{x}}{1+e^{x}} = \frac{-e^{x}}{1+e^{x}}$
f¹(x) = 0 ⇒ $-e^{x}$ = 0 ⇒ f¹(x) < 0 ⇒ f(x) descrescatoare pe IR
$\lim_{x \to -\infty} ln(1+e^{x}) - x = +\infty$
$\lim_{x \to \infty} ln(1+e^{x}) - x = -\infty$
⇒ Im f = IR

Answer 2

dom. def : 1 + e^x  > 0 pentru orice x ∈ R 
f ' =   e^x  / (1 +  e^x  )  - 1 =    - 1 ( 1 + e^x   ) 
 f' =0   nu are radacini 
x         -∞                                                  + ∞
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f '             -              -                         -           - 
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f                +   ∞    monoton  descrescatoare    0            
                                                                   lim [ ln ( 1 +e^x) - x  ] = ∞ -∞ = 
                                                                   x--> ∞
                                                             = lim [ ln( 1 +  e^x  )  - ln  e^x  ] 
                                                                x --->∞
                                                             = lim [  ln ( 1 +  e^x )  /   e^x  ]
                                                                  = ln1 = 0
lim f(x)   =  + ∞
x-->  - ∞
Imf = (0, + ∞ )