Question

cum fac integrala asta? un ajutor cat mai raapid va rog!

Answer 1

Facem schimbarea de variabilă:

$\displaystyle t = s+x\Rightarrow \\ \Rightarrow s = t-x \Rightarrow ds = dt\\\\t = x \Rightarrow s = 0,\quad t = x+1 \Rightarrow s = 1\\ \\\lim\limits_{x\to+\infty}\int_{x}^{x+1}\dfrac{t^2}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\, dt = \\ \\ =\lim\limits_{x\to+\infty}\int_{0}^{1}\dfrac{(s+x)^2}{\sqrt{(s+x)^4+(s+x)^2+1}}\, ds\\ \\ \\0<\dfrac{(s+x)^2}{\sqrt{(s+x)^4+(s+x)^2+1}}\leq \dfrac{(s+x)^2}{\sqrt{(s+x)^4}} = 1,$

care este integrabilă în intervalul 0 < s < 1, astfel din

teorema convergenței dominate putem muta limita în interiorul integralei fără probleme.

$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\int_{x}^{x+1}\dfrac{t^2}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\, dt =\\ \\ = \int_{0}^1 \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(s+x)^2}{\sqrt{(s+x)^4+(s+x)^2+1}}\, ds = \int_{0}^1 \, ds = \boxed{1}$