Question

Cum se numeste metoda de rezolvare la exercitiul 1+2+5+...2015

Answer 1

modul 1:
1+3+5+......+2015
Aceasta suma nu este una Gauss, pentru ca numerele nu sunt consecutive si nici nu pleaca din 1. De asemenea, observam ca nu putem da niciun factor comun. Prin urmare vom aplica metoda contorului. Pentru aceasta trebuie sa observam din cat in cat cresc numerele. In cazul de fata cresc din 2 in 2. Vom scrie fiecare numar din cadrul sumei ca fiind un produs de 2 * y + 1, unde y va diferi de la un numar la altul, iar 2, care este contorul, sta pe loc. Prin urmare vom avea:
1 = 2 * 0 + 1
3 = 2 * 1 + 1
5 = 2 * 2 + 1
.............
.........
.........
2015=2*1007+1
S=(2*0+1)+(2*1+1)+(2*2+1)+......+(2*1007+1)
Desfacem parentazele si regrupam termenii adunarii astefl:
S=2*0+2*1+2*2+2*3+.......+2*1007+1+1+1+1+1+.....+1
1 se aduna de 1008 de ori (pentru ca numarul cu care s-a inmultit cu 2 la ultimul termen al sumei, si anume 2015, este 1007, iar pentru ca suma nu a pornit din 1 ci din 0, se mai adauga 1 => 1008)
Dam factor comun pe 2:
S=0+2*(1+2+3+......1007)+1008
S=2*1007*(1007+1):2+1008
S=1007*1008+1008=1016064
modul 2:
Formula lui Gauss pentru sume de numere impare (suma incepe cu numarul 1)
1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n x n
In cazul nostru 2n-1 este 2015
deci:
2n-1=2015
2n=2015+1
2n=2016
n=2016:2
n=1008
S=n x n=1008 x 1008=1008²=1016064
modul 3:
S=1+3+5+.......+2015=1+(1+2)+(1+4)+......+(1+2014)
(1+1+1+.....+1)+2(1+2+3+......+1007)
1007+2*1007*(1007+1):2=1007+1007*1008=1008²=1016064
modul 4:
1+3+5+....+2015=(2015+1)*(numarul de termeni):2
numarul de termeni=(2015-1):2+1=2014:2+1=1007+1=1008
S=(2015+1)*1008:2=2016*504=1016064