Question

cum se rezolva șirul acesta de Nr?​

Answer 1

Salut,

Suma infinită din enunț poate fi rescrisă ca limită către plus infinit din sumă, cu termenul general funcție de k, nu de n.

Scriem termenul de sub sumă așa:

$\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{2}{2(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{2k+1-(2k-1)}{2(2k-1)(2k+1)}=\\\\\\=\dfrac{1}2\cdot\left[\dfrac{2k+1}{(2k-1)(2k+1)}-\dfrac{2k-1}{(2k-1)(2k+1)}\right]=\dfrac{1}2\cdot\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right).$

Dacă dăm valori lui k succesiv de la 1 la n avem că suma devine:

$\dfrac{1}2\cdot\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\ldots+\dfrac1{2n-3}-\dfrac1{2n-1}+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n+1}\right).$

Toți termenii se reduc, în afară de primul și de ultimul, suma devine:

$\dfrac{1}2\cdot\left(1-\dfrac1{2n+1}\right)$

Când n tinde la +∞, expresia de mai sus tinde la 1/2, deci valoarea sumei din enunț este 1/2.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.