Daca am f(x)=ln(x-1)-ln(x+1) si imi cere sa arat ca funcția este strict crescatoare pe (1,infinit) , si ca este concava pe acelasi interval, cum rrezolv asta?
Mulțumesc pentru răspuns!!!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
2
Pasul 1: Faci derivata functiei si daca dovedesti ca derivata este strict pozitiva pe intervalul dat atunci rezulta ca functia este strict crescatoare pe intervalul dat.
Pasul 2: Faci derivata a 2-a a functiei si daca dovedesti ca derivata a 2-a este pozitiva pe intervalul dat, atunci functia escte concava (tine apa) pe intervalul dat.
Nu-ti rezolv problema pentru ca in enunt ai intrebat cum rezolvi asta, iar eu tiam raspuns la intrebare.
Daca ai nelamuriri intreaba-ma.
Pasul 2: Faci derivata a 2-a a functiei si daca dovedesti ca derivata a 2-a este pozitiva pe intervalul dat, atunci functia escte concava (tine apa) pe intervalul dat.
Nu-ti rezolv problema pentru ca in enunt ai intrebat cum rezolvi asta, iar eu tiam raspuns la intrebare.
Daca ai nelamuriri intreaba-ma.
marinnageorgia:
Pai nu stiu sa o rezolv asta e problema,mulțumesc
Ma poti ajuta??
Nu sti sa derivezi o functie ?
Eu plec de acasa acum. Cand voi reveni, vprbim.
Punem conditile: (x - 1) > 0 si (x + 1) > 0
F'(x) = 1 / (x-1) - 1 / (x + 1)
Aducem la acelasi numitor si obtinem:
[(x + 1) - (x - 1)] / (x² - 1) = 2 / (x² -1)
Aceasta fractie este mai mare ca zero pe intervalul (1, infinit) deoarece:
2 > 0
x² -1 > 0 deoarece este un produs dintre doua numere pozitive (x-1) si (x+1)
=> functia este strict crescatoare pe acest interval
Voi continua in mesajul urmator:
F'(x) = 1 / (x-1) - 1 / (x + 1)
Aducem la acelasi numitor si obtinem:
[(x + 1) - (x - 1)] / (x² - 1) = 2 / (x² -1)
Aceasta fractie este mai mare ca zero pe intervalul (1, infinit) deoarece:
2 > 0
x² -1 > 0 deoarece este un produs dintre doua numere pozitive (x-1) si (x+1)
=> functia este strict crescatoare pe acest interval
Voi continua in mesajul urmator:
Pentru a dovedi ca este concava ne folosim de teorema:
Functia este concava pe intervalul dat daca si numai daca F'' este mai mica sau egala cu zero, oricare ar fi x care apartine intervalului dat.
Calculam derivata a 2-a, derivand prima derivata:
[2 / (x² -1)]' = -2(x² -1)' / (x² -1)² = (-4x) / (x² -1)²
(-4x) / (x² -1)² < 0 pentru x care apartine intervalului (1, + infinit)
Rezulta ca functia este concava pe intervalul (1, + infinit)
Functia este concava pe intervalul dat daca si numai daca F'' este mai mica sau egala cu zero, oricare ar fi x care apartine intervalului dat.
Calculam derivata a 2-a, derivand prima derivata:
[2 / (x² -1)]' = -2(x² -1)' / (x² -1)² = (-4x) / (x² -1)²
(-4x) / (x² -1)² < 0 pentru x care apartine intervalului (1, + infinit)
Rezulta ca functia este concava pe intervalul (1, + infinit)
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă