Question

Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației x^2+x+1=0 sa se calculeze x1^n+x2^n

Answer 1

P = x1 × x2 = c/a = 1
S = x1 + x2 = -b/a = -1

$x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} = S^{2} - 2P = 1 - 2 = -1$
$x_{1} ^{3} + x_{2} ^{3} = S^{3} - 3SP = -1 - 3*(-1)*1 = 1$

la $x_{1} ^{4} + x_{2} ^{4}$ avem:


$x_{1} ^{2} + x_{1} + 1 = 0 | * x_{1} ^{2}$
$x_{2} ^{2} + x _{2}+ 1 = 0 | * x_{2} ^{2}$
=>
$x_{1} ^{4} + x_{1}^3 + x_{1}^2 = 0$
$x_{2} ^{4} + x_{2}^3 + x_{2}^2 = 0$

Adunam cele doua relatii si avem:
$x_{1} ^{4} + x_{2}^4 + x_{1}^3 + x_{2}^3 + x_{1}^2 + x_{1}^2 = 0$

=> $x_{1} ^{4} + x_{2}^4 = -(x_{1}^3 + x_{2}^3 ) - (x_{1}^2 + x_{1}^2 ) = -1 -(-1) = 0$

Habar nu am cum se rezolva problema, dar poate daca stii rezultatele astea iti dai seama de ceva.