Question

Demonstrați că (1^n+ 2^n+ 3^n+ 4^n) este divizibil cu 10, pentru orice număr natural n, n nu este divizibil cu 4. Multumesc in avans!​

Answer 1

Răspuns:

divizibil cu 10

Explicație pas cu pas:

n = 4k + 1

$U({1}^{4k + 1} + {2}^{4k + 1} + {3}^{4k + 1} + {4}^{4k + 1}) = U(U({1}^{4k + 1}) + U({2}^{4k + 1}) + U({3}^{4k + 1}) + U({4}^{4k + 1})) = U(1 + 2 + 3 + 4) = U(10) = \bf 0$

n = 4k + 2

$U({1}^{4k + 2} + {2}^{4k + 2} + {3}^{4k + 2} + {4}^{4k + 2}) = U(U({1}^{4k + 2}) + U({2}^{4k + 2}) + U({3}^{4k + 2}) + U({4}^{4k + 2})) = U(1 + U({2}^{2}) + U({3}^{2}) + U({4}^{2}) ) = U(1 + 4 + 9 + 6) = U(20) = \bf 0$

n = 4k + 3

$U({1}^{4k + 3} + {2}^{4k + 3} + {3}^{4k + 3} + {4}^{4k + 3}) = U(U({1}^{4k + 3}) + U({2}^{4k + 3}) + U({3}^{4k + 3}) + U({4}^{4k + 3})) = U(1 + U({2}^{3}) + U({3}^{3}) + U({4}^{3}) ) = U(1 + 8 + 7 + 4) = U(20) = \bf 0$

=> divizibil cu 10

q.e.d.