Question

Demonstrati ca pentru oricare k apartine N* , $\sqrt{k^{2}+k+1 }$ nu este numar rational.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Sa presupunem ca este rational

Vom avea

k²+k+1=n² /×4=>4k²+4k+4=4n² =>

4k²+4k+1+3=4n²=>(2k+1)²+3=4n² =>

(2k+1)²-4n²=-3 => (2k+1-2n)(2k+1+2n)=-3

Avem cazurile:

1. 2k+1-2n=-3

2k+1+2n=1

=> 4k+2=-2 => 4k=-4 => k=-1 deci k nu apartine N*

2.2k+1-2n=-1

2k+1+2n=3

=>4k+2=2 => 4k=0 => k=0 deci k nu apartine N*

Prin urmare nu exista un numar k care sa apartine N* pentru care k²+k+1 sa fie patrat perfect deci Vk²+k+1 este irational