Question

Demonstrati ca, pentru orice n ∈ N*, numarul An=n^3+5n se divide cu 6.

Answer 1

Trebuie sa aratam ca $A_n\vdots2$  si $A_n\vdots3$ pentru orice n natural nenul.
Daca n este par, atunci numarul dat este suma de doua numere pare, deci se divide la 2.
Daca n este impar, atunci numarul dat este suma de doua numere impare, deci este par.
Ca sa verificam divizibilitatea la 3, consideram pentru n scrierile>
n=3k, k natural nenul, ⇒$A_n=n(n^2+5)=3k(9k^2+5)\vdots3$

n=3k+1, k natural, nenul⇒$A_n=n(n^2+5)=(3k+1)(9k^2+6k+6)\vdots3$ deoarece ultima paranteza se divide la 3.
n=3k+2, k natural, nenul⇒$A_n=n(n^2+5)=93k+2)(9k^2+12k+9)\vdots3$, deoarece  ultima paranteza se divide la 3.
Deci in toate cazurile, $A_n$ se divide la 2 si la 3, deci se divide la 6.