Question

Demonstrati ca :
$\sqrt{2 + \sqrt{3} } - \sqrt{2 - \sqrt{3} } = \sqrt{2}$
Va rog sa ma ajutati ​

Answer 1

$\sqrt{2 + \sqrt{3} } - \sqrt{2 - \sqrt{3} } = 2$

$1) \sqrt{2 + \sqrt{3} } = \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{ {2}^{2} - 3 } }{2} } + \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{ {2}^{2} - 3} }{2} }$

$= \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{4 - 3} }{2} } + \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{4 - 3} }{2} }$

$= \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{1} }{2} } + \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{1} }{2} }$

$= \sqrt{ \frac{2 + 1}{2} } + \sqrt{ \frac{2 - 1}{2} }$

$= \sqrt{ \frac{3}{2} } + \sqrt{ \frac{1}{2} }$

$= \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } + \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{2} }$

$= \frac{ \sqrt{6} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$= \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{2}$

$2) \sqrt{2 - \sqrt{3} } = \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{ {2}^{2} - 3 } }{2} } - \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{ {2}^{2} - 3} }{2} }$

$= \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{4 - 3} }{2} } - \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{4 - 3} }{2} }$

$= \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{1} }{2} } - \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{1} }{2} }$

$= \sqrt{ \frac{2 + 1}{2} } - \sqrt{ \frac{2 - 1}{2} }$

$= \sqrt{ \frac{3}{2} } - \sqrt{ \frac{1}{2} }$

$= \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } - \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{2} }$

$= \frac{ \sqrt{6} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$= \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{2}$

$\sqrt{2 + \sqrt{3} } - \sqrt{2 - \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{2}$

$= \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} }{2} = \frac{2 \sqrt{2} }{2} = \sqrt{2}$

Formula radicalilor compuşi :

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-b}}{2} }\pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-b}}{2}}$