Question

Demonstrati inegalitatile:
a) 1/a+1/b+1/c≥9,a,b,c∈(0;+infinit) astfel incat a+b+c=1.
b) ab+ac+bc≤1 , (∀) a,b,c∈(0;+infinit) astfel incat a²+b²+c²=1;

Answer 1

Aplici  inegalitatea  mediilor.media  aritmetica Ma>media  armonica
(a+b+c)/3≥3/(1/a+1/b+1/c)  inmultesti  ambii  membrii  cu (1/a+1/b+1/.c)
(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)/3≥3  dar cum  a  2-a  parenteza  este  1  obtii
(1/a+1/b+1/c)/3≥3=>
1/a+1/b+1/c≥9
_________

(a-b)²≥0=>
a²+b²≥2ab
In  mod  analog arati
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ca  Se  aduna  cele  3  inegalitati
2a²+2b²+2c²≥2bc+2ab+2ac  imparti  prin 2  si  obtii 
a²+b²+c²≥ab+bc+ca  adica
1≥ab+bc+ca