Question

Demostrati ca:

$\frac{x}{16+y^2+z^2}+\frac{y}{16+x^2+z^2}+\frac{z}{16+x^2+y^2} \leq \frac{1}{4}$

oricare ar fi x, y, z in intervalul [0; 2]


Daca fac operatii cu intervale ajung undeva la

$x\in [0; 2] \ si \ 16+y^2+z^2 \in [16; 24], \ si \ ca \ \frac{x}{16+y^2+z^2} \in [\frac{0}{24}; \frac{2}{16}] \ desi \ cred \ ca \ar \ fi \ trebuit \ sa \ \in [\frac{0}{24}; \frac{1}{12}]$

Answer 1

0 ≤ z² ≤ 4

0 ≤ y² ≤ 4

=> 0 ≤ z²+y² ≤ 8 => 16 ≤ 16+y²+z² ≤ 24

0 ≤ x ≤ 2    (*)

16 ≤ 16+y²+z² ≤ 24    (**)

Impărtim inegalitatea (*) la (**).

Putem deoarece capetele sunt nenegative.

=> 0/16 ≤ x/(16+y²+z²) ≤ 2/24

=> 0 ≤ x/(16+y²+z²) ≤ 1/12    (1)

Analog:

0 ≤ y/(16+x²+z²) ≤ 1/12        (2)

0 ≤ z/(16+x²+y²) ≤ 1/12        (3)

Din (1) + (2) + (3) =>

0+0+0 ≤ x/(16+y^2+z^2)+

y/(16+x^2+z^2)+z/(16+x^2+y^2) ≤ 3/12

=> 0 ≤ x/(16+y^2+z^2) + y/(16+x^2+z^2) + z/(16+x^2+y^2)  ≤ 1/4

=> x/(16+y^2+z^2) + y/(16+x^2+z^2) + z/(16+x^2+y^2)  ≤ 1/4,

∀x,y,z ∈ [0,2]