Question

Derivarea unei functii in modul.
Cum se deriveaza in modul ?

Uitati un exemplu:
Fie functia f:R->R, f(x) = | x^2 - x -2|
Studiati derivabilitatea functiei.

Answer 1

$f(x)=|x^2-x-2|$
Explicitam modulul:Determinam intai semnul functiei de gradul II.
Solutiile ecuatiei $x^2-x-2=0$ aunt -1 si 2.
Dupa cum stim, intre radacinile functiei de gradul 2  avem semn contrar lui a (coeficientul lui x^2) si in afara semnul lui a.
$f(x)= \left \{ {{x^2-x-2 , x\in(-\infty;-1]U[2;+\infty)} \atop {-(x^2+x+2).x\in(-1;2)}} \right.$
$f'(x)= \left \{ {{2x-1,x\in(-\infty;-1)U(2;+\infty)} \atop {-2x+1,x\in(-1;2)}} \right.$
Studiem derivabilitatea in -1 si 2.
[tex]\displaystyle f'_{s}(-1)= \lim_{x \to -1,x<-1} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} =\lim_{x \to -1,x<-1} \frac{x^2-x-2}{x+1)} =\\ [/tex]
$\displaystyle lim_{x \to -1,x<-1} \frac{(x+1)(x-2)}{x+1} =lim_{x \to -1,x<-1} (x-2)=-3$
Analog se calculeaza cealalta limita la dreapta.
$f'_{d}(-1)=3$
Cele doua limite nefiind egale, deducemca f nu este derivabila in -1.
Analog se arata ca derivatele laterale in 2 nu sunt egale si in consecinta, f nu este derivabila in 2.
In final, f este derivabila pe R-{-1,2}.