Question

Determina numerele naturale a si b , stiind ca (a , b ) = 5 si suma patratelor lor este 1 300 .

Answer 1

cum (a,b) =5 (au cel mai mare divizor comun 5 ) ,iar a,b nr naturale=>
=> numerele sunt de forma 5*k , 5*p , (p,k)=1, k,p e N*

cum a^2+b^2=1300
 iar a=5*k ,b=5*p   => (5*k)^2 +(5*p)^2=1300 <=>
<=>25*k^2+25*p^2=1300<=>
<=>k^2 +p^2=52  ;  daca p sau k >8 =>
=> k^2 + p^2 >52  dar k,p e N* =>
=>  0<k<8 si 0<p<8
avem k^2 +p^2=52 , k,p e N* suma a doua numere = un nr par 
=> fie amble sunt pare, fie ambele impare 
dar (p,k)=1 => nu pot fi pare (cel mai mare divizor comun a nr p,k =1 )
=> p,k sunt impare
dar 0<p,k<8 , p,k nr naturale => p,k e {1,3,5,7}
=>
 caz 1) k=1 => p^2 =51 (fals, p e N* )
 caz 2) k=3  =>  p^2=43  (fals, p e N* )
caz 3 ) k=5 => p^2 =27 (fals, p e N* )
caz 4) k=7 => p^2=3  (fals, p e N* )

=> nu exista astfel de numere ( sau ai gresit ceva la enunt)