Question

determinati numerele naturale nenule n, stiind ca prin impartirea lui n la 11 se obtine un cat egal cu restul impartirii lui n la 13 , iar prin impartirea lui n la 13 se obtine un cat egal cu restul impartirii lui n la 11.

Answer 1

n : 11 = c1 rest r1 
n:13= c2 rest r2

c1=r2 (notam =a)
c2=r1  (notam =b) ,a,b naturale => problema devine :

n:11=a rest b => n=11*a+b
n:13= b rest a  => n=13*b + a =>
=> 11*a+b=13*b+a <=>10*a =12*b <=>

<=>5*a=6*b  
din T.I.R  avem ca impartitorul este > decat restul in cazurile noastre :
11>b si 13 >a

deci problema se rezuma in a afla 
5*a=6*b  cu b e{0,1,...10}
               si  a e{0,1,...12}
cum (5,6)=1 (au cel mai mare divizor comun 1)
=> a divizibil cu 6 
     b divizibil cu 5 
dar b e{0,1,...10} si  a e{0,1,...12} =>
=> a e{0,6,12} si b e{0,5,10}

caz 1) a=0 => b=0  
caz 2)a=6 =>b=5
caz 3 )a=12 => b=10

cum n=11*a+b => 
=> n=0
=>n=71         
=> n=142