Question

Determinați a∈R\{-1}, pentru care parabola y=(a+1)$x^{2}$+ax+3 și dreapta y=x+1 au două puncte distincte comune.

Answer 1

Răspuns:

Graficele ecuatiilor au 2 puncte de intersectie <=> sistemul format de cele doua ecuatii are 2 solutii.

Answer 2

Explicație pas cu pas:

ecuația parabolei:

$y = (a+1)x^{2}+ax+3$

ecuația dreptei:

$y=x+1$

intersecția celor două grafice:

$(a+1)x^{2}+ax+3 = x + 1 \\(a+1)x^{2}+ax - x+3 - 1 = 0 \\ (a+1)x^{2} + (a - 1)x + 2 = 0$

$(a + 1)x^{2} + (a - 1)x + 2 = 0$

două puncte distincte comune: Δ > 0

${(a - 1)}^{2} - 8(a + 1) > 0 \\ {a}^{2} - 2a + 1 - 8a - 8 > 0 \\ {a}^{2} - 10a - 7 > 0$

$\Delta_{a} = 128 \implies a_{1;2} = 5 \pm 4 \sqrt{2}$

$\implies a \in \Big( - \infty ; 5 - 4 \sqrt{2} \Big) \cup \Big(5 + 4 \sqrt{2} ; + \infty \Big)$