Question

Determinati catul si restul impartirii numarului a=1+2+2 la puterea 2+2 la puterea 3+2 la puterea 4+.....+2 la puterea 2014 la 15

Answer 1

a= 1+2+2² +2³ +2⁴ +.........+ 2²⁰¹⁴             I inmultim cu 2
2a = 2 + 2² +2³+2⁴ +  ........+2²⁰¹⁴ +2²⁰¹⁵              din care scadem a
-a= -1 -2 -2² -2³ -2⁴ - ........ - 2²⁰¹⁴
---------------------------------------------------
2a -a = 2²⁰¹⁵ -1 
a = 2²⁰¹⁵ -1             : 15                         c= cat     r =rest
2²⁰¹⁵ -1 = 15 ·c + r                                        r< 15
 2²⁰¹⁵  -1=( 2⁴) ⁵⁰³  -1 = 
                 ↓            
este un numar care are ultima cifra 6
               6-1 
                      ↓
ultima cifra a numarului .......... 5  , se divide cu 5 si cu 3 
⇒ r=0