Question

Determinati numerele intregi x si y care verifica relatia: x^2+y^2 -2x+4y+4 = 0

Answer 1

[tex]x^2-2x+1+y^2+4y+4=1\\ (x-1)^2+(y+2)^2=1\\ a)\\(x-1)^2=0\\(y+2)^2=1\\ x-1=0\\ y+2=1 \ sau\ y+2=-1\\ y=-1 \ sau\ y=-3\\ b)\\ (x-1)^2=1\\ (y+2)^2=0\\ x-1=1 \ sau\ x-1=-1\\ x=2 \ sau \ x=0\\ y+2=0\\ y=-2[/tex]

Answer 2

(x²-2x +1)-1+(y²+4y+4)=0
(x-1)²+(y+2)²-1=0
(x-1)²+(y+2)²=1

1∈Z, x, y∈Z⇒(x-1)² si (y+2)²∈Z
 posibuil doar (x-1)²=1 si (y+2)²=0⇒x-1=1 si y=-2 adica x=2 si y=-2
                                                             x-1=-1 si y=-2  adica x=0 si y=-2


si ( x-1)²=0 si (y+2)²=1 ⇒x=1 si y+2=1 adica x=1 si y=-1
                                           x=1 si y+2=-1 asica x=1 si y=-3

deci (x;y) ∈{(2;-2); (0;-2);(1-1); (1;-3)}
care verifica toate expresia data

Extra
Problema are o reprezentare geometrica interesanta ,expresia
(x-1)²+(y+2)²=1 fiind ecuatia unui cerc de centru (1;-2) si raza 1,
 iar solutiile fiind perechide puncte numere intregi ce reprezinta intersectia acestui cerc cu paralele la axele de coordonate duse prin centrul cercului, centrul avand coordonate numere intregi si raza, numar intreg;
deci, pe langa verificare algebrica, e un motiv sa cred ca acestea si numai acestea sunt  solutiile cautate (posibil ca autorul problemei ASA sa o fi compus initial).