Question

Determinaţi x = (0,pi),știind că (2 sinx+cos x)² - 4 cos x(sinx-cos.x) = 4

Answer 1

Răspuns:

pi/2

Explicație pas cu pas:

(2 sinx + cosx)² = 4 sin²x + 4 sinx*cosx + cos²x

4 sinx*cosx = 2 * (2sinx*cosx) = 2 * sin(2x)

(2 sinx + cosx)² = 4 sin²x + cos²x + 2 * sin(2x)

4 cosx * (sinx - cosx) = 4 cosx*sinx - 4 cos²x

= 2 * (2sinx*cosx) - 4 cos²x

= 2 * sin(2x) - 4 cos²x

(2 sinx + cosx)² - 4 cosx * (sinx - cosx) =

= 4 sin²x + cos²x + 2 * sin(2x) - [2 * sin(2x) - 4 cos²x]

= 4 sin²x + cos²x + 2 * sin(2x) - 2 * sin(2x) + 4 cos²x

2 * sin(2x) - 2 * sin(2x) se reduce si ramane:

= 4 sin²x + cos²x + 4 cos²x

= 4 sin²x + 5cos²x

= 4 * (sin²x + cos²x) + cos²x

= 4 * 1 + cos²x

= 4 + cos²x

4 + cos²x = 4 ⇒ cos²x = 0 ⇒ cos x = 0

⇒ x ∈ {pi/2 + k*pi, k ∈ Z}

dar x ∈ (0, pi)

⇒ x = pi/2

Answer 2

$\it x\in(0,\ \ \pi)\ \ \ \ \ (*)\\ \\ (2sinx+cosx)^2-4cosx(sinx-cosx)=4 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow 4sin^2x+4sinxcosx+cos^2x-4sinxcosx+4cos^2x=4 \Rightarrow\\ \\ 4(sin^2x+cos^2x)+cos^2x=4 \Rightarrow4+cos^2x=4\Big|_{-4} \Rightarrow cos^2x=0 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow cosx=0\ \stackrel{(*)}{\Longrightarrow}x=\dfrac{\pi}{2}$