Question

E posibil matematic asa ceva? Sa scazi și sa aduni intervale? Și mai ales partea cu c-ul.

Dacă f: [-1,1]->[-1,1] iar f(x) =ax^2+bx+c atunci |a| mai mic sau egal cu 2.

Answer 1

$\displaystyle Avem~f(0),~f(-1),~f(1) \in [-1,1]. \\ \\ f(0)=c \in [-1,1] \\ \\ f(-1)=a-b+c \in [-1,1] \\ \\ f(1)=a+b+c \in [-1,1] \\ \\ Adunand~ultimele~doua~relatii,~obtinem~2(a+c) \in [-2,2],~deci \\ \\ a+c \in [-1,1]. \\ \\ Deci~-1 \le a+c \le 1.$

$\displaystyle -1 \le a+c \le a+1 \Rightarrow -1 \le a+1 \Rightarrow \boxed{a \ge -2}. \\ \\ a-1 \le a+c \le 1 \Rightarrow a-1 \le 1 \Rightarrow \boxed{a \le 2}. \\ \\ Din~relatiile~din~chenar~rezulta~|a| \le 2.$

$\displaystyle --------------------------- \\ \\ Cat~despre~"adunarea"~si~"scaderea"~intervalelor: \\ \\ Daca~x \in [a,b]~si~y \in [c,d],~atunc~x+y \in [a+c,b+d]. \\ \\ Este~evident~de~ce.~Acum~sa~vedem~cum~se~"scad". \\ \\ Avem:~a \le x \le b~si~ c \le y \le d. \\ \\ Impartim~relatia~c \le y \le d ~cu~-1,~si~tinem~cont~ca \\ \\ semnele~se~vor~modifica.~Obtinem:~-c \ge -y \ge -d. \\ \\ Adica~-d \le -y \le -c.~Si~cum~a \le x \le b,~prin~adunare~obtinem: \\ \\ a-d \le x-y \le b-c,~deci~x-y \in [a-d,b-c].$