Question

f:R->R, f(x)=x-arctgx
Aratati ca functia f este bijectiva

Answer 1

f'(x)=1-1/(1+x²)=(x²+1-1)/(x²+1)=x²/(x²+1)≥0,∀x∈R
f'(0)=0 DAR f'(x) nu schimba semnul in orice vecinatate a lui 0
deci0   NU este punct de extrem
f(x)  crescatoare, dec f(x) injectiva pe R
 fie g(x) =x   Im g(x) =R undeprin Im g(x) a m notat Imaginea functiei g(x)
fie h(x) =-arctgx  Im h(x)=-(-π/2;π/2) =(-π/2;π/2)
Im f(x0 = Im (g(x)+h(x))=R∪(-π/2;π/2)=R deci f(x)  surjectiva pe R

sau, altfel
 lim x->∞dinf(x) =∞-π/2=∞
lim x->-∞ din f(x)=-∞+π/2=-∞ deci f(x) surjectiva pe R


f(x) injectiva si surjectiva, f(x) bijectiva