Question

Fie A={a+ib√3) la,b∈Z}. (5+i2√3)²=13+20i√3
Se cere:
Daca u , v∈A u*v=5+2i√3 atunci u si v este -1 sau 1

Answer 1

Dacă $uv=5+2i\sqrt3,$ atunci $|u||v|=|5+2i\sqrt3|=\sqrt{37},$şi, ridicând la pătrat, obţinem $|u|^2|v|^2=37.$ Dacă $u=a+bi\sqrt3,v=c+di\sqrt3,a,b,c,d\in \mathbb{Z},$egalitatea devine $(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=37.$ Cum 37 e număr prim, unul dintre factori trebuie să fie 1 şi concluzia e imediată.

Observaţie: în enunţ concluzia trebuie să fie "u sau v este -1 sau 1".