Question

Fie a,b,c,d numere rationale strict positive.Demonstrati ca media aritmrtica a numerelor
a:c si b:d este egala cu (a+b):(c+d) daca si numai daca a:b=c:d sau c=d.

Answer 1

Consideram ipoteza urmatoare adevarata:
$\frac{\frac{a}{c}+\frac{b}{d}}{2}=\frac{a+b}{c+d}$
$\frac{\frac{a}{c}+\frac{b}{d}}{2}=\frac{ad+bc}{2cd}$
Consideram c=d atunci avem:
$\frac{c(a+b)}{2c^{2}}=\frac{a+b}{2c}=\frac{a+b}{c+d}$
Ipoteza este adevarata pentru c=d
Consideram $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
Deci $ad=bc$
Inlocuind in relatie avem:
$\frac{2ad}{2cd}=\frac{a}{c}$
$\frac{a}{c}=\frac{a+b}{c+d}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow a(c+d)=c(a+b)\Leftrightarrow ac+ad=ac+bc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow ad=bc(ipoteza)$
Deci ipoteza este adevarata pentru ad=bc.
Acum mai trebuie sa demonstram ca ipoteza pe caz general este falsa daca cele 2 conditii nu sunt indeplinite(a/b=c/d sau c=d)
$\frac{ad+bc}{2cd}=\frac{a+b}{c+d}\Leftrightarrow$
$(c+d)(ad+bc)=2cd(a+b)\Leftrightarrow$
$acd+bc^{2}+ad^{2}+bcd-2acd-2bcd=0\Leftrightarrow$
$bc^{2}+ad^{2}-acd-bcd=0$
Ipoteza este falsa daca ad diferit de bc sau c diferit de d
Sunt putin cam prost,trebuia sa ajung la forma asta a ecuatiei si de aici sa deduc egalitatea numai pentru ecuatiile date.