Question

Fie a,b ∈ Ncu steluta cu proprietetea:5a+3b=75
a)Determinati valoarea maxima a expresiei 2a+3b.
b)Determinati valorile celui mai mare divizor comun al perechilor (a,b) care verifica proprietatea din enunt.AJUTORRRRRR DAU 50 P

Answer 1

a) 5/5a si 5/75 ⇒ 5a si 75 sunt divizibile cu 5⇒ 5/3b⇒5/b
3/3b si 3/75⇒ 3b si 75 sunt divizibile cu 3⇒ 3/5a⇒ 3/a

2a+3b maxim, daca b>a
daca b=20⇒ 5a+60=75⇒5a=75-60⇒5a=15⇒a=15:5⇒a=3
2 x 3+ 3 x 20=6+60=66

b)
daca b=15⇒ 5a+45=75⇒ 5a=75-45=30⇒a=30:5=6
daca b=10⇒ 5a+30=75⇒5a=75-30=45⇒ a=45:5=9
daca b=5 ⇒ 5a+15=75 ⇒5a=75-15=60⇒a=60:5=12

(a;b) ∈ {(3;20) ; (6;15); (9;10); (12;5)}

 (3;20) = 1;
 (6;15) =3
 (9;10)=1
 (12;5)=1

Answer 2

5a + 3b = 75,  a, b ∈ ℕ* 

5a + 3b = 75 ⇒3b = 75 - 5a ⇒ 3b < 75 |:3 ⇒ b < 25      (1)

Vom rezolva ecuația din enunț.

5a + 3b = 75 ⇔ 3b = 75 - 5a ⇔ 3b = 5(25-a)    (2)

Membrul drept al ecuației (2) este un multiplu al lui 5, deci și membrul stâng trebuie să fie multiplu al lui 5, adică  b =5k, unde k ∈ ℕ* 

I) k=1 ⇒ b=5 și din (2) ⇒ a= 12

II) k=2 ⇒ b=10 și din (2) ⇒ a= 9

III) k=3 ⇒ b=15 și din (2) ⇒ a= 6

IV) k=4 ⇒ b=20 și din (2) ⇒ a= 3

V) k = 5 ⇒ b=25, imposibil, deoarece contravine relației (1) 

Așadar, soluțiile ecuației date sunt perechile :

(a, b)∈ {(3, 20), (6, 15), (9, 10), (12, 5)}

E foarte simplu să determinăm perechile (2a,  3b), adică:

(2a,  3b) ∈ {(6, 60),  (12, 45),  (18, 30),  (24, 15)}

2a + 3b ∈ {66,  57,  48,  39}

Valoarea maximă a expresiei 2a + 3b este egală cu 66.

b)  Am găsit  (a, b) ∈ {(3, 20), (6, 15), (9, 10), (12, 5)}

Valorile celui mai mare divizor comun al perechilor (a,b) se determină astfel :

(3,  20) = 1 ⇒ 3 și 20 sunt numere prime între ele

(6,  15) = 3

(9,  10) = 1 ⇒ 9 și 10 sunt numere prime între ele

(12,  5) = 1 ⇒ 12 și 5 sunt numere prime între ele