Question

Fie ABCD patrat si M un punct situat in interiorul patratului. Sa se
demonstreze ca punctul M se afla pe una din diagonalele patratului <=>
MA·MC+MD·MB=AB^2

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Intr-un patrat cunoastem relatia :

d=l*√2 , d-diagonala , l-latura

AC=AB*√2 (²)⇒AC²=2*AB²⇒AB²=AC²/2

Includem punctul O asftel incat : AC∩BD={O} , evident mijlocul diagonalelor

AC²=(AO+OC)² |:2

AC²/2=(AO+OC)²/2 (1)

AC²/2=(OB+OD)²/2 (2)

Din (1)+(2)⇒2*AC²/2=[(AO+OC)²+(OB+OD²)]/2 |*1/2

AC²/2=(AO+OC)²/4+(OB+OD)²/4

se cunoaste: MA·MC+MD·MB=AC²/2

DAR (OB+OC)²/4=(OB+OD)²/4

Atunci si MA*MC=MD*MB , asta inseamna ca puncul M este unic si se afla pe una din diagonale astfel incat produsul distantei pe dagonal sa fie egala cu (OB+OC)²/4 sau cu (OB+OD)²/4

Bafta!