Question

Fie ABCD un paralelogram. Dacă vectorii AB + AD și AB -AD au același modul, să se arate că ABCD este dreptunghi.

Answer 1

Din regula paralelogramului avem ca
$\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}\Rightarrow|\vec{AB}+\vec{AD}|=|\vec{AC}|$
adica modulul vectorului $\vec{AB}+\vec{AD}$ este egal cu lungimea uneia dintre diagonalele paralelogramului.
Folosind regula triunghiului:
[tex]\vec{DA}+\vec{AB}=\vec{DB} \\ \text{Dar } \vec{DA}+\vec{AB}=-\vec{AD}+\vec{AB}=\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DB}\Rightarrow\\ |\vec{AB}-\vec{AD}|=|\vec{DB}|\\[/tex]
adica modulul vectorului $\vec{AB}-\vec{AD}$ este egal cu lungimea celeilalte diagonae a paralelogramului.
Cum din ipoteza:
$|\vec{AB}-\vec{AD}|=|\vec{AB}+\vec{AD}|$ rezulta ca cele doua diagonale ale paralelogramului sunt congruente, de unde paralelogramul este dreptunghi.