Question

Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare. Mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] si [DA] sunt E, F, G, respectiv H. Aratati ca:

a) EFGH este patrat

b) Aria ABCD = EG la pătrat 

Answer 1

a) În triunghiurile ABC și ADC, EF și HG sunt linii mijlocii, ddeci sunt paralele cu AC și jumătate din AC. Rezultă că patrulaterul EFGH are două laturi opuse și congruente, deci este paralelogram. Celelalte două laturi sunt paralele cu BD și jumătate din BD, care este egală cu AC. Deci paralelogramul este romb. Cum diagonalele trapezului sunt perpendiculare, rezultă că laturile EF și FG sunt perpendiculare, deci rombul este pătrat.
b) Fie O intersecția diagonalelor. Triunghiurile AOB și COD sunt dreptunghice și isoscele. Rezultă că EO este și mediană și înălțime. La fel OG. Atunci E, O și G sunt coliniare și EG este înălțime în trapez. HF este linie mijlocie în trapez și, pe de o parte este egală cu $\displaystyle\frac{AB+CD}{2}$, pe de altă parte este egală cu EG. Atunci
$A_{ABCD}=\displaystyle\frac{(AB+CD)EG}{2}=HF\cdot EG=EG^2$