Question

Fie ABCDA'B'C'D' o prisma triunghiulara regulata dreapta cu AB=6raidcal 3 si AA'=12 radical6 si M mijlocul muchiei BB',iar N mijlocul muchiei AA'.Calculati:a) tangenta unghiului format de CM cu planul (ABC),b) distanta de la A' la drapta de intersectie a palneleor(A'MC) si (ABC),c)masura unghiului format de dreptele BN si CM,d) distanta de la A la planul(A'MC)

Answer 1

a) cel mai usor
pr (ABC) M=B
m∡(MC, (ABC) )=m∡(MC,BC)=m∡MCM
tg∡MCM=MB/BC= (BB'):2/BC=12√6:2/6√3=6√6/6√3=√6/√3=√2
vezidesen a)


c)
vezidesen c)
mediu ca grad de dificultate si independent de b) il fac pe acesta pt a lua din punctaj sau acastiga timp la o teza/un examen
∡(BN, CM) =?
BN, CM necoplanare
construim DN|| BC
m∡(BN, CM)=m∡BND
BN=ND= ( teo Pitagora in Δ NAB dreptunghic in A)=√(NA²+AB²)=
=√((6√6)²+(6√3)²)= 6√(6+3)=6√9=6*3=18
DB=diagonala unii patrat de latura 6√3=6√3*√2=6√6

In Δ NBD , fie NO⊥BD, {O}=BD∩AC, DO=OB=6√6:2=3√6
NO= (T Pitagora ΔNOD)=√(NB²-BO²)=√18²-(3√6)²)=3√(36-6)=3√30
egalam ariile scrise prin 2 formule ; 
(1/2)BD*NO=(1/2) NB*ND *sin ∡(BND)
6√6*3√30=18*18*sin ∡(BND)
6*3*6*√5=18*18*sin ∡(BND)
6√5=18*sin ∡(BND)
√5=3*sin ∡(BND)
sin ∡(BND)=√5/3
raspuns posibil bun , deoarece √5/3<1
In clasa a 8-a nu stim ce unghi ascutit  are sinusul egal √5/3,(nu face parte din valorile deduse si  invatate pe de rost pt unghiurile de (30°,45° sau 60° )dar se presupune ca daca am determinat valoarea unei functii trigonometrice pt un anume unghi acel unghi este cunoscut (de exemplu , din tabelele de functii trigonometrice)
punctul c) este considerat rezolvat daca sin ∡(BNC) este cunoscut si nu este una din valorile invatate pt 30°,45° sau 60°

b) foarte greu, vezidesene pagina 2 din attach

In primul rand trebuie sa determinam dreapta (A'MC)∩(ABC)
un punct al acestei drepte il avem direct, chiar din denumirea explicita a planelor;
este punctul C
 pt a obtine un al doilea punct al dreptei de intersectie desenam A'M∩(ABC)=A'M∩AB= {P}
In planul ABB'A' prelungim dreapta A'M pana intersecteaza dreapta AB in P

dreapta de intersectie a planelor(A'MC) si (ABC),este dreapta suport a segmentului CP;
ca orice dreapta, ea este infinita , ea se prelungeste in ambele capete dincolode C si , respectiv, de P

cum MB=AA'/2 (ipoteza) si MB||AA' (perpendicularele pe acelasi plan sunt ||)⇒
⇒MB l.m. inΔ AA'P⇒BP=AB=6√3
 
Pt a afla distanta de la A', exterior planului (ABC) la dreapta suport a segmentului CP, inclusa in (ABC) vom aplica Teorema celor 3 perpendiculare
Ducem A'A⊥(ABC) -o avem ,este muchia AA'
din A' ducem o perpendiculara pe dreapta suport a segmentului CP . Unde 'cade" aceasta?
cum AB=BP  si ABCD patrat⇒CB =BP⇒ΔCPB tr dr isoscel⇒m∡BPC=45°
fie CP∩AD= {R}⇒m∡(ARP)=45° si C mijloc PR 
( ! dupa cum spuneam, dreapta suport a segmentului CP este infinita, noi am determinat doar un alt punct al acesteia, R)
cum mas∡APR=45°⇒ΔAPR isoscel
cum C mijloc PR, AC mediana, ΔAPR isoscvel, AC inaltime, deci AC⊥PR ( sau ⊥PC, tot aia)

asadar avem
AA'⊥(ABC)
PC⊂(ABC)
AC⊥PC
din cele 3 de mai sus⇒( T3p) ca A'C⊥CP⇔
⇔A'C=d( A', CP ) = distanta de la A' la dreapta de intersectie a palneleor(A'MC) si (ABC),

A'C=?
A'C ipotetenuza in ΔA'AC, cu AA'=12√6 si AC=6√6
A'C= √((12√6)²+(6√6)²)=6√6√(2²+1²)=6√6*√5=6√30, cerinta b)

d) relativ usor, clasic,  dar rezovabil numai daca s-a rezolvat punctul b)
vezidesene pagina 3 din attach
 
Pt a calcula d( A, (A'MC))   vom folosi faptul ca, la puctul b),  am determinat (A'MC)∩(ABC)=PR
 deci avem de calculat d (A, (A'PR))

Fie AQ⊥A'C  (1)
vom demonstra ca AQ⊥(A'PR)

varianta 1

AC⊥PR
PR⊂(A'PR)
QC⊥PR
Q∈(A'PR)
din cele 4de mai sus⇒(Reciproca a doua a T3p) c⇒ AQ⊥(A'PR)⇔
⇔d(A, (A'PR)=AQ

varianta 2
A'C⊥PR (punctul b)), PR⊥A'C
AA'⊥PR (pt ca AA'⊥(ABC), deci pe toate dreptele din (ABC)), PR⊥AA'
cum PR e ⊥ 2 drepte concurente din (A'AC),
inseamna ca PR⊥(A'AC)⇒PR⊥AQ⊂(A'AC)⇒AQ⊥PR (2)
din AQ⊥A'C (1))si AQ⊥PR (2)⇒AQ⊥(A'PR) ⇔d(A, (A'PR)=AQ

AQ=?

AQ inaltime coresp ipotenuzei in tr dr A'AC cu AA"=12√6 (ipoteza)
                                                                    AC=6√6 (punctul b)
                                                                     A'C=6√30 (punctul b)

AQ= cat1*cat2/ipotenuza=AA' *AC/A'C= 12√6 *6√6/6√30=12√6/√5=12√30/5, cerinta d)