Question

Fie f(x)=4x pãtrat-12x+9 și g(x) =2(x+2)(2x-3)-(x+2) la pătrat,X€R
a) Descompuneți în factori f(x) ,g(x) și f(x)-g(x)
b) Arãtați cã f(x) > sau egal g(x),oricare ar fi X€R .
c)Rezolvați ecuațiile:f(x) =0,g(x)=0 și f(x)=g(x)
Vã rog

Answer 1

Hello, pentru a rezolva acest exercitiu, trebuie sa stim cum sa ne comportam cu functiile, o sa mergem prin fiecare punct aparte.

a) Descompunerea in factorii.
Aici putem privi functia ca o expresie.
f(x) - Practic, noi trebuie sa descompunem 4*$x^{2}$ - 12*x + 9 in factori, observam ca acesta este un patrat perfect, si anume: $(2*x - 3)^{2}$, sau (2*x - 3)*(2*x - 3) - l-am descompus.
g(x) - Aici observam ca putem scoate (x + 2) in fata:
2*(x + 2)*(2*x - 3) - $(x + 2)^{2}$ = (x + 2)*(2*(2*x - 3) - (x + 2)) = (x + 2)*(3*x - 8) - l-am descompus.
f(x) - g(x) - Cel mai usor - desfacem toate parantezele si vedem ce ne ramane: 4*$x^{2}$ - 12*x + 9 - 2*(x + 2)*(2*x - 3) + $(x + 2)^{2}$ = 4*$x^{2}$ - 12*x + 9 - 4*$x^{2}$ - 2*x +12 + $x^{2}$ + 4*x + 4 = $x^{2}$ - 10*x + 25 = $(x - 5)^{2}$ = (x - 5)*(x - 5) - l-am descompus.

b) f(x) >= g(x) x ∈ R.
Aici putem inlocui in loc de f(x)  : 4*$x^{2}$ - 12*x + 9, iar in loc de g(x) : 2*(x + 2)*(2*x - 3) - $(x + 2)^{2}$.
Acum, f(x) >= g(x) <=> f(x) - g(x) >= 0, noi din punctul precedent am calculat f(x) - g(x), deci putem inlocui aici: $(x - 5)^{2}$ >= 0, iar noi stim ca orice patrat perfect e mai mare ca 0!

c) La acest punct pentru comoditatea ne folosim de ce am aflat inainte:
f(x) = 0, deci 4*$x^{2}$ - 12*x + 9 = 0 <=> $(2*x - 3)^{2}$ = 0, deci 2*x - 3 = 0 <=> x = $\frac{3}{2}$.
g(x) = 0, deci  2*(x + 2)*(2*x - 3) - $(x + 2)^{2}$ = 0 <=> (x + 2)*(3*x - 8) = 0, de aici:
x + 2 = 0 sau 3*x - 8 = 0, ca un produs de 2 factorii sa fie egali cu 0, atunci cel putin unul dintre factori trebuie sa fie 0.
x + 2 = 0 <=> x = - 2.
3*x - 8 = 0 <=> x = $\frac{8}{3}$
f(x) = g(x), deci f(x) - g(x) = 0 <=> $(x - 5)^{2}$ = 0 <=> x - 5 = 0 <=> x = 5.

Repeta formulele! Si rezolva exercitii, o sa ai nevoie la bac!

Daca ai intrebari, scrie in comentarii!