Question

Fie functia f : R⇒R ,astfel  incat  f(x)=|x| ln(x+ √(x²+1)). sa se arate ca functia f este derivabila in x=0.

Answer 1

Mai intai explicitezi functia:

$f(x)= \left \{ {{-xln(x+ \sqrt{ x^{2} +1} )pt x<0} \atop {xln(x+ \sqrt{ x^{2} +1})}pt x>=0} \right.$
Pentru a demonstra ca e derivabila intr-un punct f's=f'd
$f's= \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{-xln( x+\sqrt{ x^{2} +1} )-0}{x-0}$  care clar este egala cu 0,in acest caz am calculat pt x care tinde crescator spre 0
In acelasi mod se demonstreaza si pentru derivata laterala dreapta,care evident va fi egala tot cu 0,de unde iti rezulta derivabilitatea in punctul 0