Question

Fie functia f(x):R->R, f(x)=xarctgx. Sa se determine asimptotele la graficul functiei f . (Cu explicatii va rog, dau coroana) 25p.

Answer 1

!!!!!!!!(fara gluma...aici; cunoasterea graficelor functiilor elementare, g(x)=x si h(x) =arctgx constituie un AVANTAJ; iti recomand INAINTE de a citi rezolvarea sa le (re?)vezi)


functia este :R, deci nu are asimptote  verticale
 la + si -∞ tinde catre π/2*∞=∞ si respectiv -π/2*(-∞)=∞, deci nu are orizontale

daar
trebuie sa cautam oblice (care la bunukl simt, trebuie sa existe, avand in vedere ca  limcand x->∞ arctgx=π/2, deci la ∞ functia va 'semana " cu g(x)=x)

limcand x->∞ din ((xarctgx)/x)=limcand x->∞ din(arctgx)=arctg∞=π/2
si limcand x->∞(xarctgx-(π/2) *x)=limcand x->∞ din (x (arctgx-π/2))=∞*0 nedeterminare
facem limcand x->∞( (arcgx-π/2)/(1/x))
aplicam l"Hospital, adica raportul limitelor derivatelor si ne da =
limcand x->∞ din ((-x²)/(1+x²))=-1

limitele de mai sus existand si fiind finite, inseamna ca functia data admite la+∞  asimptota oblica y=(π/2)*x-1


cum f(x) este functie para (f(-x)=(-x)*arctg(-x)=(-x) *(-arctgx)=xarctgx) inseamna ca are graficul simetric fata de axa Oy
atunci va admite si o aasimptota simetrica la -∞
iar simetrica dreptei y=(π/2)*x-1 este y=-(π/2)x+1, care va fi asimptota la -∞
(nu imi place sa calculez limite de loc de loc, uneori gresesc, uneori -rusinicaaa! nici nu stiu, dar stiu binisor, ghinion, asta e, functia de grad 1, asa ca am tras asimptota pe Academiei; am gresit la prima asimptota, am gresit si la a doua; am facut bine la prima,  si zic ca am facut, am facut bine si la a doua)

deci aceasta frumoasa functie are 2 asimptote oblice:
y=(π/2) *x-1 la +∞
si
y=-(π/2)*x+1  la -∞



Extra
si daca ii trasezi graficul (eventual cu un program) o sa obtii ceva cam ca o hiperbola simetrica fata de dreapta x=2/π, unde cele 2 asimptote intersecteaz axa Oy...posibil sa aibe si un minim absolut in (2/π;f(2/π)), 'obtinut"de mine grafic, cu ajutorul celui ce a compus problema si a cerut asimptotele;
dar asta o poti verifica cu derivata 1.
extra 2
P.S. Eu am verificat ficat! ficat! pe calculatorul de la Iphone si, pt x=1000, am rezultat de ordinul miilor cu 2 zecimale identice la xarctx si la asimptota calculata, deci E BINEEEE!!!