Question

Fie matricele $A=\left([tex]\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), C=a A+b B, a, b \in \mathbb{R}$.[/tex]

Atunci :

1) $A^{2}$ este egală cu : a) $-3 A$; b) $A+I_{3}$; c) $2 A$; d) $-2 A$; e) $4 A$.(1 punct)

2) $B^{2}$ este egală cu :a) $-3 B ;$ b) 3B; c) 2B; d) $B+I_{3}$; e) 2B. (1 punct)

3) $C^{n}$ este egală cu : a) $3^{n-1}\left[(-1)^{n-1} a^{n} A+b^{n} B\right]$; b) $3^{n-1}\left[(-1)^{n} a^{n} A-b^{n} B\right]$;

c) $3^{n-1}\left[(-1)^{n-1} a^{n} A-b^{n} B\right]$. (1 punct)

Answer 1

Răspuns:

a) $A^2=-3A$

b) $B^2=3B$

c) Se verifică prin calcul că $A\cdot B=B\cdot A=O_3$

Prin inducție

$A^n=(-1)^{n-1}3^{n-1}A, \ B^n=3^{n-1}B, \ \forall n\in\mathbb{N}^*$

Atunci

$(A+B)^n=a^nA^n+b^nB^n=3^{n-1}((-1)^{n-1}a^nA+b^nB)$

Explicație pas cu pas: